В четверг, 27.07.2017 в 14:00 в ВЦ РАН состоится междисциплинарный семинар : "Методы многомасштабного моделирования и их приложения"

Руководители: академик РАН Е.И. Моисеев, проф. С.А. Лурье, проф. С.Я. Степанов

Семинар состоится по адресу: Москва, ул. Вавилова, дом 40, конференц-зал

Докладчик: д. физ.-мат. наук., профессор Сергей Гаврилюк

Название доклада:  Среды с энергией, зависящей от материальных производных плотности

Предлагается новый численный метод решения дисперсионных уравнений с дисперсией типа инерции. Для простоты исследуются уравнениях Serre–Green–Naghdi (SGN), описывающие дисперсионные волны на мелкой воде (или же распространение продольной волны в круговом движении с эффектами боковой инерции (Рэлея) или волны, распространяющиеся в жидкости, содержащей газовые пузырьки (Iordansky, Kogarko, Wijngaarden). С математической точки зрения уравнения SGN представляют собой уравнения Эйлера-Лагранжа с дифференциальным ограничением, которое является законом сохранения массы. Одной из основных задач при решении уравнений SGN является разрешение эллиптической задачи в каждый момент времени. Это самая трудоемкая часть численного метода. Идея состоит в том, чтобы заменить «мастер-лагранжиан» на однопараметрическое семейство «расширенных» лагранжианов в зависимости от большего числа переменных, для которых соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа являются гиперболическими. При таком подходе лагранжиан восстанавливается расширенным лагранжианом в некотором предельном смысле (например, когда соответствующий параметр большой). Предлагается и обсуждается выбор семейства дополненных лагранжианов. Соответствующая гиперболическая система численно решается методом типа Годунова. Численные решения сравниваются с точными решениями уравнений SGN. Указывается, что вычислительное время при решении гиперболической системы намного меньше, чем в случае, когда рассматривается исходный эллиптический оператор. Будет обсуждаться возможность применения такого подхода к градиентным жидкостям второго порядка (твердые тела).

Media with the energy depending on the material derivative of the density

A new numerical method for solving dispersive equations with the dispersion of inertia type (dependence of the internal energy on the density and material derivative of the density) is discussed. For simplicity, we focus here on the Serre–Green–Naghdi (SGN) equations describing dispersive waves on shallow water, however one can also think about the longitudinal wave propagation in a circular rode with effects of lateral inertia (Rayleigh), or waves propagating in a fluid containing gas bubbles (Iordansky, Kogarko, Wijngaarden). From the mathematical point of view, the SGN equations are the Euler–Lagrange equations for a 'master' lagrangian submitted to a differential constraint which is the mass conservation law. One major numerical challenge in solving the SGN equations is the resolution of an elliptic problem at each time instant. This is the most time-consuming part of the numerical method. The idea is to replace the 'master' lagrangian by a one-parameter family of 'augmented' lagrangians, depending on a greater number of variables, for which the corresponding Euler–Lagrange equations are hyperbolic. In such an approach, the 'master' lagrangian is recovered by the augmented lagrangian in some limit (for example, when the corresponding parameter is large). The choice of such a family of augmented lagrangians is proposed and discussed. The corresponding hyperbolic system is numerically solved by a Godunov type method. Numerical solutions are compared with exact solutions to the SGN equations. It appears that the computational time in solving the hyperbolic system is much lower than in the case where the elliptic operator is inverted. I will also discuss the possibility to apply such an approach to the second-order gradient fluids (solids). REFERENCES. 2017 Favrie, N. and Gavrilyuk, S.A rapid numerical method for solving Serre -Green-Naghdi equations describing long free surface gravity waves, Nonlinearity, v.30, N 7

Возврат к списку